Guia No. 14. Tercer Periodo. Decimo y Once.

 

1.    IDENTIFICACIÓN DE LA GUÍA DE APRENDIZAJE

Área: Matemáticas             Tercer Periodo	Semana: Del 26 al 30 de Octubre
Grado: Decimo y Once
Objetivo General: Reforzar el concepto de volumen de poliedros y sus aplicaciones
Actividad a Realizar por el estudiante: Resolver cada una de los puntos de la guía de aprendizaje, y en los casos que son necesarios describir los procedimientos.
Criterios de Evaluación: Se evaluará procedimientos y las estrategias que utilizan para llegar a los resultados. Los trabajos se entregaran vía correo electrónico o evidencia al whatsApp de cada docente, antes del viernes 30 de Octubre

 

2.    ESTRUCTURA DE LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

 

2.1   Actividades de Reflexión inicial: En los conceptos vistos durante todo el bachillerato, el volumen de poliedros se considera uno de los más importantes, por su aplicabilidad, y por su cotidianidad, se hace necesario entender bien el concepto para poder construir conceptos posteriores.

2.2   Conocimientos necesarios para el aprendizaje: Concepto de volumen, volumen de prismas, volumen de pirámides, resolución de problemas con volúmenes.

2.3    Explicación del Tema: Leer bien las preguntas y situaciones problemáticas, resolverlas con sus respectivos procedimientos

 

3.    EXPLICACIÓN DEL TEMA

 

VOLUMEN DE POLIEDROS

1.    Definición

Se entiende por volumen a una magnitud métrica, euclideana y de tipo escalar, que se puede definir como la extensión de un objeto en sus tres dimensiones, es decir, tomando en cuenta su longitud, ancho y altura. Todos los cuerpos físicos ocupan un espacio que varía según sus proporciones, y la medida de dicho espacio es el volumen.

Para calcular el volumen de un objeto bastará con multiplicar su longitud por su ancho y por su altura, o en el caso de sólidos geométricos, aplicar determinadas fórmulas a partir del área y la altura u otras variables parecidas. Por ejemplo:

• Volumen de un paralelepípedo. v = l x b x h, donde l es longitud, b es ancho y h es altura.
• Volumen de un cubo. v = a³, donde a es el lado del cubo, o a x a x a.
• Volumen de una esfera. v = 4/3 x π x r³, donde r es el radio.
• Volumen de un cilindro. v = π x r² x h, donde h es la altura del cilindro y π x r² es la superficie de la base circular.
• Volumen de un cono. v = (π x r²  x h) / 3, donde r es el radio de la base.
• Volumen de una pirámide. v = 1/3 x a x h, donde a es el área de la base.

Por otro lado, dependiendo del estado de agregación de la materia y también de su temperatura, el volumen puede tomar diversas formas. Así, un cuerpo sólido posee un volumen fijo y determinado, mientras que los fluidos (líquidos y gases) no tienen un volumen fijo: se adaptan al espacio que los contenga. Debido a variaciones de temperatura, el volumen de los sólidos, gases y líquidos puede cambiar, en general se pueden expandir o contraer.

2.    Volumen de un prisma

¿Qué es un prisma?

La realidad es que en el mundo que vivimos estamos rodeados de prismas. Por ejemplo, es un prisma el cartón de leche, un dado o el edificio en el que vives.

De una manera más formal, un prisma es un poliedro que tiene dos caras paralelas iguales llamadas bases. El resto de caras que componen un prisma, son las caras laterales que tiene forma de paralelogramos. Podemos diferenciar otras partes en un prisma:

·          Las aristas: son las líneas formadas por la unión de dos caras.

·          Los vértices: son el punto intersección entre dos aristas.

·          La altura: la distancia entre las dos bases.

¿Qué tipos de prisma existen?

Los prismas pueden clasificarse según el número de lados de sus bases. Tendremos por tanto un prisma triangular si cada una de las bases está formada por un triángulo, cuadrangular si las bases son cuadrados, pentagonal si la base tiene cinco lados, hexagonal, etc…

También, según las bases, podemos hacer otra clasificación en prismas regulares y prismas irregulares. Si las bases son polígonos irregulares, serán prismas irregulares y del mismo modo, si las bases son polígonos regulares, estaríamos ante un prisma regular.

Por último, en función de las caras laterales, también podemos hacer una última clasificación de los prismas. Podemos clasificarlos en prismas rectos u oblicuos. Estamos ante un prisma recto si tiene todas sus caras formadas por rectángulos o cuadrados y ante un prisma oblicuo en caso contrario.

El volumen de un prisma es el producto del área de la base (A_b) por la altura del prisma (h). En un prisma recto la altura coincide con una altura lateral, mientras que en un prisma oblicuo no.

Ejemplo (prisma pentagonal):

Vamos a considerar un prisma pentagonal recto con altura de 10 centímetros, lado de 3 centímetros, y apotema de 2.064 centímetros.

Ahora, sustituimos en la fórmula y tenemos que:

Sabemos que el área de un pentágono se calcula como el producto del perímetro P por la apotema a entre dos:

Y el perímetro de un pentágono de lados iguales se calcula sumando 5 veces el lado l, o multiplicando el lado por 5:

Entonces:

3. Volumen de una Piramide

Una pirámide es un poliedro cuya superficie está formada por una base que es un polígono cualquiera y caras laterales triangulares que confluyen en un vértice que se denomina ápice (o vértice de la pirámide). Las pirámides tienen tantos triángulos en las caras laterales como lados tiene la base.

Elementos de la pirámide

En una pirámide se pueden diferenciar los siguientes elementos:

§  Base (B): polígono cualquiera. Es la única cara que no toca al vértice de la pirámide.

§  Caras (C): los triángulos de los laterales y la base.

§  Aristas (a): segmentos donde se encuentran dos caras de la pirámide. Podemos distinguir: aristas laterales, que son las que llegan al vértice (o ápice) y aristas básicas, que están en la base.

§  Altura (h): distancia del plano de la base al vértice de la pirámide.

§  Vértice de la pirámide (V): punto donde confluyen las caras laterales triangulares. También se llama ápice.

§  Apotema de la pirámide (ap): distancia del vértice a un lado de la base. Solo existe en las pirámides regulares. Puesto que en este caso las caras laterales son isósceles, la apotema de la pirámide es también la altura de las caras laterales.

§  Apotema de la base (ap_b): distancia de un lado de la base al centro de ésta. Solo existe en las pirámides regulares.

 

Apotema de la pirámide

La apotema de la pirámide es la distancia del ápice a un lado de la base. Solo existe en las pirámides regulares.

En las pirámides regulares, la altura (h), la apotema de la base (ap_b) y la apotema de la pirámide (ap) forman un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras, conociendo la altura (h) y la apotema de la base (ap_b) podemos calcular la apotema:

Tipos de pirámide

Las pirámides se pueden clasificar mediante cuatro criterios:

Número de lados de la base

Las pirámides se pueden clasificar según el número de lados que tiene su base:

§  Pirámide triangular: la base es un triángulo (3 lados).

§  Pirámide cuadrangular: la base es un cuadrilátero (4 lados).

El volumen de una pirámide es un tercio del área de la base de la pirámide (A_b) y su altura (h).

Ejemplo:

Consideremos una pirámide con una altura de 5 centímetros y una base de 3 centímetros por 3 centímetros.

Para calcular el área de la base de la pirámide, utilizamos la fórmula para el área de un cuadrado:

Para hallar el volumen de la pirámide, utilizamos la fórmula:

Sustituyendo valores y realizando los cálculos, tenemos que:

El volumen de la pirámide resultó ser de 15 centímetros cúbicos.

 

 

 

 

4.    ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

1. Hallar los volúmenes de los siguientes prismas

a) Prisma cuadrangular.       Altura: 4,5 cm        Lado del cuadrado de la base: 3 cm

b) Prisma triangular  ( base regular)        Altura: 5,5 cm            Lado del triángulo de la base: 2,8 cm

c) Prisma pentagonal   (base regular)       Altura: 6cm        Lado del pentágono de la base: 4,6 cm   

 

2.      Hallar los volúmenes de las siguientes pirámides:

a)     Pirámide triangular( base regular )           Altura: 5cm         Lado del triángulo de la base: 5cm

b)      Pirámide pentagonal ( base regular)         Altura: 6cm       Lado del pentágono de la base: 4,6cm

c)      Pirámide octogonal  ( base regular)         Altura: 4,4cm       Lado del octágono de la base: 4,6cm

 

3.      Resolver los siguientes problemas

 

 

Ø  En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto se quiere almacenar cajas de dimensiones 10dm de largo, 6dm de ancho y 4dm de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar?

Recuerde que 1dm=10 cm  y  1m= 100 cm

 

        

 Ø  Un depósito de almacenamiento  tiene de dimensiones,  2 metros de ancho, 3 metros de largo, y 5 metros de alto. Se quiere almacenar cajas de 10 decímetros de alto, 6 decímetros de ancho y 4 decímetros de largo.

 

 

 ¿ Cuántas  cajas se pueden almacenar en el depósito? Describa el procedimiento que realizo

Los siguientes videos explicativos reforzaran conceptos de  las anteriores temáticas:

https://www.youtube.com/watch?v=n0j1XwaroHs

https://www.youtube.com/watch?v=n0j1XwaroHs

https://www.youtube.com/watch?v=VpOKrHNLcEM

https://www.youtube.com/watch?v=wVXX5C1xyQE

BIBLIOGRAFÍA / WEBGRAFÍA

El siguiente link les servirá de ayuda, y de refuerzo al concepto de fracciones y sus operaciones. https://concepto.de/volumen/#ixzz6V7Fmv0Yl

Nota:  la visualización de estos videos es de forma opcional, de la misma manera serán enviados, via whattapp